coordenadas Schwarzschild

You are currently browsing articles tagged coordenadas Schwarzschild.

Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y $latex 1$-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas.

Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann:

$latex g_m: T_mM times T_mM longrightarrow mathbb{R}$

podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo $latex (0,2)$. Efectivamente, ya que en cada $latex m in M$ tenemos definido:

$latex g_m in mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R}) cong otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M$.

Por lo tanto, tenemos que $latex g: M longrightarrow T^{(0,2)}M$ define una métrica sobre la variedad $latex M$.

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild $latex (r,theta,varphi,tau)$ es:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (dtheta^2 + sin^2 theta dvarphi^2)-(1-frac{2M}{r})dtau^2$

que en notación de productos tensoriales queda:

$latex g = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr otimes dr + r^2 (dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi)-(1-frac{2M}{r})dtau otimes dtau$

Acabamos de ver que $latex g_m in mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R})$. En nuestro caso, una base de $latex T_mM$ es:

$latex { frac{partial}{partial r}|_m, frac{partial}{partial theta}|_m, frac{partial}{partial varphi}|_m, frac{partial}{partial tau}|_m}$

por lo que $latex dim T_mM = 4$ y su base dual:

$latex { dr_m, dtheta_m, dvarphi_m, dtau_m }$

es una base de $latex T_m^*M$ con $latex dim T_m^*M = 4$. Como:

$latex mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R}) cong otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M$

tenemos que:

$latex dim T_m^*M otimes T_m^*M = dim T_m^*M cdot dim T_m^*M = 4 cdot 4 = 16$

y una base de $latex T_m^*M otimes T_m^*M$ es:

$latex { dr_m otimes dr_m, dr_m otimes dtheta_m, dr_m otimes dvarphi_m, dr_m otimes dtau_m,$

$latex dtheta_m otimes dr_m, dtheta_m otimes dtheta_m, dtheta_m otimes dvarphi_m, dtheta_m otimes dtau_m,$

$latex dvarphi_m otimes dr_m, dvarphi_m otimes dtheta_m, dvarphi_m otimes dvarphi_m, dvarphi_m otimes dtau_m,$

$latex dtau_m otimes dr_m, dtau_m otimes dtheta_m, dtau_m otimes dvarphi_m, dtau_m otimes dtau_m }$

Las componentes de nuestra métrica en esta base son:

$latex g_{11} = frac{1}{1-frac{2M}{r}}$, $latex g_{22} = r^2$, $latex g_{33} = r^2 sin^2 theta$, $latex g_{44} = -(1-frac{2M}{r})$ y $latex g_{ij} = 0$ si $latex i neq j$.

En general, dada una variedad $latex M$ de dimensión $latex dim M = n$ y un punto $latex m in M$, entonces $latex dim T_mM = dim T_m^*M = n$ y $latex dim T_m^*M otimes T_m^*M = n^2$, por lo que $latex g_m in mathcal{M}_n(mathbb{R})$.

Si llamamos $latex x^1$ a la coordenada $latex r$, $latex x^2$ a la coordenada $latex theta$, $latex x^3$ a la coordenada $latex varphi$ y $latex x^4$ a la coordenada $latex tau$, entonces podemos referirnos a la métrica $latex g$ de una forma mas compacta:

$latex g = sum_{alpha,beta=1}^4 g_{alphabeta}dx^alpha otimes dx^beta$

que en física y siguiendo el convenio de suma de Einstein, con índices griegos variando de $latex 1$ a $latex 4$ y indices latinos haciendolo entre $latex 1$ y $latex 3$, queda:

$latex g_{alpha beta}dx^alpha dx^beta$

Si calculamos la inversa de la matriz $latex g_{alpha gamma}g^{gamma beta} = delta_alpha^beta$ obtenemos las componentes contravariantes de la métrica:

$latex g = sum_{alpha,beta=1}^4 g^{alpha beta} frac{partial}{partial x^alpha} otimes frac{partial}{partial x^beta} equiv g^{alpha beta} frac{partial}{partial x^alpha} frac{partial}{partial beta}$

que en el caso que nos ocupa son:

$latex g^{11} = 1-frac{2M}{r} $, $latex g^{22}= frac{1}{r^2}$, $latex g^{33}=frac{csc theta}{r^2}$ y $latex g^{44}=-frac{1}{1-frac{2M}{r}}$

por lo que nos queda:

$latex g= 1-frac{2M}{r} frac{partial}{partial r} otimes frac{partial}{partial r} + frac{1}{r^2}frac{partial}{partial theta} otimes frac{partial}{partial theta} + frac{csc theta}{r^2}frac{partial}{partial varphi} otimes frac{partial}{partial varphi} -frac{1}{1-frac{2M}{r}}frac{partial}{partial tau} otimes frac{partial}{partial tau}$

que también puede escribirse:

$latex g= 1-frac{2M}{r} partial_r^2 + frac{1}{r^2} partial_theta^2 + frac{csc theta}{r^2} partial_varphi^2 -frac{1}{1-frac{2M}{r}} partial_tau^2$

Tags: , , , , , , ,

Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis «Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues» de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild ($latex J=0, Q=0$) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild $latex (r,theta,varphi,tau)$ con $latex r > 2M$ y siendo $latex tau$ el tiempo propio:

$latex g = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr otimes dr + r^2 (dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi)-(1-frac{2M}{r})dtau otimes dtau$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} frac{1}{1-frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

y en física se suele escribir:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (dtheta^2 + sin^2 theta dvarphi^2)-(1-frac{2M}{r})dtau^2$

Además, como $latex dOmega^2 = dtheta^2 + sin^2theta dvarphi^2$ es la métrica de $latex S^2$ ($latex S^2(theta,varphi) = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi, cos theta)$ en $latex ]0,pi[ times ]0,2pi[$ de manera que $latex g_{11} = S^2_theta cdot S^2_theta = 1$, $latex g_{12} = g_{21} = S^2_theta cdot S^2_varphi = 0$ y $latex g_{22} = S^2_varphi cdot S^2_varphi = sin^2 theta$, con lo que $latex g = dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$), tenemos:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 dOmega^2 – (1-frac{2M}{r})dtau^2$

Coordenadas isotrópicas $latex (bar{r},theta,varphi,tau)$ con $latex r = bar{r} (1 + frac{M}{2bar{r}})^2$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = (1+frac{M}{2bar{r}})^4(dbar{r}^2+ bar{r}^2 dOmega^2 )- big (frac{1-frac{M}{2bar{r}}}{1+frac{M}{2bar{r}}} big) dtau^2$

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître $latex (r,theta,varphi, T)$ con $latex dT = dtau + frac{sqrt{frac{2M}{r}}}{1-frac{2M}{r}}dr$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = dr^2 + r^2 dOmega^2 + 2 sqrt{frac{2M}{r}}dTdr – (1-frac{2M}{r})dT^2$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & sqrt{frac{2M}{r}} \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ sqrt{frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

Coordenadas de Eddington-Finkelstein $latex (t, r, theta, varphi)$ con $latex t = tau + 2M ln |frac{r}{2M} – 1|$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = frac{1}{1+frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 dOmega^2 + frac{4M}{r} dtdr – (1-frac{2M}{r})dt^2$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} 1+frac{2M}{r} & 0 & 0 & frac{2M}{r} \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre «Geometria diferencial i relativitat» de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres $latex (u,v,theta,varphi)$:

$latex ds^2 = frac{32M^3}{r} e^{-frac{r}{2M}} (du^2 – dv^2) + r^2 dOmega^2$

donde

$latex u=sqrt{frac{r}{2M}-1} e^{frac{r}{4M}} cosh frac{tau}{4M}$

y

$latex v=sqrt{frac{r}{2M}-1} e^{frac{r}{4M}} sinh frac{tau}{4M}$

No hay singularidad física en $latex r=2M$, pero hay dos en $latex r=0$.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr ($latex J neq 0, Q = 0$) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist $latex (r,theta,varphi,t)$:

$latex ds^2 = frac{rho^2}{Delta} dr^2 + rho^2 dtheta^2 + tilde{w}^2(dvarphi – wdt)^2 – (frac{rho sqrt{Delta}}{Sigma})^2dt^2$

donde

$latex Delta = r^2 -2Mr + a^2$

$latex rho^2 = r^2 + a^2 cos^2 theta$

$latex Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 – a^2 Delta sin^2 theta$

$latex w = frac{2aMr}{Sigma^2}$

$latex tilde{w} = frac{Sigma sin theta}{rho}$

y siendo $latex a$ el momento angular del BH. Fijando $latex a=0$ obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild $latex (r,theta,bar{varphi},bar{t})$:

$latex ds^2 = frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + rho^2 dtheta^2+ sin^2 theta rho^2 [1+Y(1+Z)] dbar{varphi}^2 – (1-Z) dbar{t}^2+$

$latex +2aepsilon sin^2 theta frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drdbar{varphi} -2 epsilon Z^k dr dbar{t} -2 a sin^2 theta Z dbar{varphi}dbar{t}$

donde

$latex Y = frac{a^2 sin^2 theta}{rho^2}$, $latex Z = frac{2Mr}{rho^2}$

y $latex epsilon = +1(-1)$ regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

$latex dbar{varphi} = dvarphi – epsilon frac{a}{Delta} dr$

$latex dbar{t} = dt – epsilon [ frac{1+Y}{1+Y-Z} – frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr$

donde $latex Delta$ es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente $latex g_{tt}$ de la métrica se anule.

Tags: , , , , , , , , , , , ,