fibrado cotangente

You are currently browsing articles tagged fibrado cotangente.

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

Tags: , , , , , , , , , ,

En palabra de Terry Tao:


En la física, el espacio de fases es un concepto que unifica la mecánica clásica (Hamiltoniana) con la mecánica cuántica; en matemáticas, el espacio de fases es un concepto que unifica la geometría simpléctica con el análisis armónico y las PDE.

En mecánica clásica, el espacio de fases es el espacio de todas las posibles configuraciones de un sistema: no solo las posiciones $latex q$ de todos los objetos del sistema, sino también sus momentos $latex p$. Matemáticamente, el espacio de configuraciones puede definirse como una variedad $latex M$ de manera que, para cada posicion $latex q in M$, los momentos $latex p$ toman valores en el espacio  cotangente $latex T_q^*M$. De esta manera, el espacio de fases puede verse de manera natural como el fibrado cotangente:

$latex T^*M:=bigsqcup_{q in M} T_q^*M$,

y, como ya vimos en ese mismo post, si $latex dim M = n$ entonces $latex dim T^*M = dim TM = 2n$, es decir, que el espacio de fases siempre va a tener dimensión par.

Tags: , , ,

Dada una variedad diferenciable $latex M$, una curva diferenciable en $latex M$ es una aplicación diferenciable $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ donde $latex a,b in mathbb{R}$ y $latex a<b$.

Dado un punto $latex m$:

  1. denotaremos por $latex mathcal{C}(M,m)$ al conjunto de curvas diferenciables $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ tales que $latex a<0<b$ y $latex alpha(0) = m$.
  2. denotamos por $latex mathcal{F}(M,m)$ al conjunto de funciones diferenciables $latex f:U longrightarrow mathbb{R}$ tales que $latex U$ es un entorno abierto de $latex m$ en $latex M$.

Definimos en $latex mathcal{C}(M,m)$ la relación de equivalencia $latex sim$ de la siguiente manera:

$latex alpha sim beta Leftrightarrow (f circ alpha)'(0) = (f circ beta)'(0),,forall alpha,beta in mathcal{C}(M,m),,forall f in mathcal{F}(M,m)$

Llamamos espacio tangente a $latex M$ en $latex m$ a

$latex T_mM := frac{mathcal{C}(M,m)}{sim}$

A los elementos de $latex T_mM$ se les llama vectores tangentes a $latex M$ en $latex m$, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.

Denotamos por $latex p:mathcal{C}(M,m) longrightarrow T_mM$ a la aplicación que a cada curva $latex alpha$ le asocia su clase de equivalencia. Además, $latex v(f) :=(f circ alpha)'(0)$ donde $latex f in mathcal{F}(M,m)$ y $latex v = p(alpha)$ con $latex alpha in mathcal{C}(M,m)$.

Si la dimensión de la variedad es $latex n$ y $latex (U,varphi)$ es una carta cualquiera con $latex m in U$, entonces:

  1. denotamos por $latex { e_i}_{i=1}^{n}$ a la base canónica de $latex mathbb{R}^n$.
  2. definimos las curvas coordenadas $latex tau_i in mathcal{C}(M,m)$ como $latex tau_i(t) := varphi^{-1}(varphi(m)+te_i)$.
  3. definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta $latex (U,varphi)$ como $latex frac{partial}{partial varphi^i}|_m = p(tau_i) in T_mM$.

Los vectores

$latex { frac{partial}{partial varphi^1}|_m, cdots, frac{partial}{partial varphi^n}|_m }$

forman una base de $latex T_mM$, por lo que para todo $latex v in T_mM$ tenemos que:

$latex v = sum_{i=1}^n v(varphi^i) frac{partial}{partial varphi^i}|_m$

y $latex dim T_mM = dim M = n$.

Llamamos espacio cotangente a $latex M$ en $latex m$ al espacio vectorial dual de $latex T_mM$ y que denotamos por $latex T_m^*M$, o sea:

$latex T_m^*M := (T_mM)^* = mathcal{L}(T_mM,mathbb{R})$

A los elementos de $latex T_m^*M$ se les denomina 1-formas de $latex M$ en $latex m$. Las 1-formas:

$latex { dvarphi_m^1, cdots, dvarphi_m^n }$

forman una base de $latex T_m^*M$ que es, a su vez, la base dual de:

$latex { frac{partial}{partial varphi^1}|_m, cdots, frac{partial}{partial varphi^n}|_m }$

Es evidente, por tanto, que $latex dim T_m^*M = dim T_m M = n$.

Llamamos fibrado tangente $latex TM$ a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes $latex T_mM$ con $latex m in M$, es decir:

$latex TM := bigsqcup_{m in M} T_mM$

Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que $latex dim TM = 2n$

De la misma manera, llamamos fibrado cotangente $latex T^*M$ a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes $latex T_m^*M$ con $latex m in M$, es decir:

$latex T^*M := bigsqcup_{m in M} T_m^*M$

Ademas, $latex dim T^*M = dim TM = 2n$

Tags: , , , , ,