24 agosto, 2012

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La siguiente operación en física:

$latex a+b+c = d+e$

solamente la podremos realizar si todas las variables están en las mismas unidades. En física solemos medir longitudes ($latex L$), masas ($latex M$), tiempos ($latex T$), temperaturas ($latex K$), etc. La idea es disponer de unas unidades de manera que ciertas constantes universales tomen el valor $latex 1$ simplificando así algunas ecuaciones físicas.

Dada la ecuación $latex v=frac{d}{dt}x$ podemos escribir la correspondiente ecuación de dimensión $latex [v] = frac{L}{T} = L T^{-1}$. De la misma manera, nos quedaria $latex [a] = L T^{-2}$ para las aceleraciones.

Sabemos que la velocidad de la luz en el vacío $latex c = 3 times 10^{10} frac{cm}{s}$ en el sistema cegesimal (CGS: cm, g, s) y su ecuación dimensional es $latex [c] = LT^{-1}$. Si queremos conseguir $latex c=1$, ¿qué unidades de longitud y tiempo necesitamos? Suponiendo que la longitud la continuamos midiendo en $latex cm$, aunque lo denotamos ahora con $latex uL$, vamos a definir una unidad de tiempo $latex uT$ de manera que $latex c=1$:

$latex 3 times 10^{10} frac{uL}{s} times frac{1}{x} frac{s}{uT} = 1 frac{uL}{uT} Leftrightarrow 1 uT = frac{1}{3 times 10^{10}} s$

Por lo que en $latex uL$ y $latex uT$ hemos conseguido que $latex c=1$.

Tenemos que la constante de gravitación universal $latex G = 6.67 times 10^{-8} frac{cm^3}{g s^2}$ en el sistema CGS, con $latex [G] = L^3 M^{-1} T^{-2}$. Si hacemos:

$latex 6.67 times 10^{-8} frac{uL^3}{g s^2} times frac{1}{(3 times 10^{10})^2} frac{s^2}{uT^2} times frac{1}{x} frac{g}{uM}=1 frac{uL^3}{uM uT^2} $

tenemos que $latex x = frac{2.2}{3} times 10^{-28}$ y nos queda que $latex 1 g = frac{2.2}{3} times 10^{-28} uM$. Así pués, $latex G=1$ en estas nuevas unidades.

Si prodecemos de esta manera hasta conseguir que  $latex c = G = k_B = 1$, donde $latex k_B$ es la constante de Boltzmann, obtenemos las unidades geometrizadas. Si lo hacemos para $latex c =k_B=h=1$, donde $latex h$ es la constante de Planck, obtenemos las unidades naturales.