25 agosto, 2012

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El problema de Riemann es un caso especial de problema de valor inicial (IVP) en el que la PDE es:

$latex u_t + a u_x = 0$

y la condicion inicial (IC):

$latex u(x,0) = u_0(x) = begin{cases} u_Lmbox{ si } x < 0 \ u_R mbox{ si } x > 0 end{cases}$

donde $latex u_L$ y $latex u_R$ son dos valores constantes, de manera que tenemos una discontinuidad en $latex x=0$. En este caso, la solución es sencilla:

$latex u(x,t) = u_0(x-at) = begin{cases} u_L mbox{ si } x-at < 0\ u_R mbox{ si } x-at > 0 end{cases}$.

Podemos extender el problema a un conjunto de $latex m$ PDEs hiperbólicas:

$latex U_t + AU_x = 0$ con $latex -infty < x < infty, t>0$

donde la matriz $latex A$ es de coeficientes constantes. Al asumir la hiperbolicidad de $latex A$, tenemos $latex m$ valores propios reales $latex lambda_i$ y $latex m$ vectores propios independientes $latex K^{(i)}$. En este caso, la IC se escribe como:

$latex U(x,0) = U^{(0)}(x) = begin{cases} U_L, x<0\ U_R, x>0 end{cases}$

Los Riemann solvers son métodos numéricos que permiten resolver el problema de Riemann.