1 septiembre, 2012

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Dos variedades diferenciales $latex M$ y $latex N$ son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas. Sin considerar ninguna estructura adicional, dos variedades difeomorfas son equivalentes.

Sea $latex f:M longrightarrow N$ una aplicación entre variedades de clase $latex C^k$.

Diremos que $latex f$ es un difeomorfismo de clase $latex C^k$ si es bijectiva, diferenciable y $latex f^{-1}$ también es diferenciable de clase $latex C^k$.

Diremos que $latex f$ es diferenciable de clase $latex C^k$ si lo es en cada punto de $latex M$. Usualmente, como en variedades, utilizamos diferenciable para diferenciable de clase $latex C^infty$.

Diremos que $latex f$ es diferenciable en $latex m in M$ de clase $latex C^k$  si existen cartas adaptadas $latex (U,Phi)$ de $latex M$ y $latex (V,Psi)$ de $latex N$ tales que $latex m in U$ y su representación local $latex bar{f}$ es diferenciable en $latex Phi(m)$ de clase $latex C^k$.

Dos cartas $latex (U,Phi)$ de $latex M$ y $latex (V,Psi)$ de $latex N$ estan adaptadas a $latex f$ si $latex f(U) subset V$. Llamamos representación local de $latex f$ en las cartas $latex (U,Phi)$ y $latex (V,Psi)$ a $latex bar{f} = Psi circ f circ Phi^{-1}: A longrightarrow B$.