3 septiembre, 2012

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En el libro «Geometria Diferencial i Relativitat» de J. Girbau aparecen algunos ejemplos concretos de variedades diferenciables.

Para empezar, $latex { (mathbb{R}^n, id_{mathbb{R}^n}) }$ es un atlas que dota al espacio euclídeo $latex mathbb{R}^n$ de estructura de variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y clase $latex C^infty$.

También podemos considerar la esfera $latex S^n(r)$ ($latex n$-esfera, hiperesfera) de radio $latex r$ centrada en el origen de $latex mathbb{R}^{n+1}$. Si llamamos $latex N$ al polo norte, de coordenadas $latex (0,0,ldots,0,r)$, y $latex S$ al polo sur, de coordenadas $latex (0,0,ldots,0,-r)$, sean $latex U_1 = S^n(r)-{N}$ y $latex U_2=S^n(r)-{S}$ y sean $latex varphi_1:U_1 longrightarrow mathbb{R}^n$ la proyección estereográfica desde $latex N$ sobre el plano $latex x^{n+1}=0$ y $latex varphi_2:U_2 longrightarrow mathbb{R}^n$ la proyección estereográfica desde $latex S$ sobre el plano del ecuador. Se puede comprobar que $latex { (U_1, varphi_1), (U_2, varphi_2) }$ es un atlas $latex C^infty$ de dimensión $latex n$ que dota a $latex S^{n}(r)$ de una estructura de variedad diferenciable.

Otro ejemplo concreto de variedad diferenciable es el plano proyectivo real $latex mathbb{R}P^n$. Consideramos en $latex mathbb{R}^{n+1} – { 0 }$ la relación de equivalencia:

$latex x sim y Leftrightarrow exists lambda in mathbb{R}: x = lambda y$.

De esta manera,

$latex mathbb{R}P^n := frac{mathbb{R}^{n+1} – { 0 }}{sim}$

Es fácil comprobar que $latex { (U_i, varphi_i)}, i=0,ldots,n$ donde

$latex U_i = { [ x^0 :ldots : x^n ], x_i neq 0 }, i=0,ldots,n$,

siendo $latex [ x^0: ldots :x^n ]$ coordenadas homogéneas, y

$latex varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n ,/, [x^0:ldots:x^n] mapsto (frac{x^0}{x^i},ldots,hat{frac{x^i}{x^i}},ldots,frac{x^n}{x^i})$

donde $latex hat{frac{x^i}{x^i}}$ significa que falta la componente $latex i$-ésima, dota a $latex mathbb{R}P^n$ de una estructura de variedad diferenciable. Este ejemplo es de naturaleza diferente del anterior ya que $latex mathbb{R}P^n$ no se presenta dentro de ningún $latex mathbb{R}^n$.