Definición (Función holomorfa): Sean $latex U subset mathbb{C}$ abierto, $latex f: U longrightarrow mathbb {C}$ y $latex z_0 in U$. Decimos que $latex f$ es holomorfa (derivable o entera) en $latex z_0$ si existe:
$latex lim_{z rightarrow z_0} frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0)$.
Diremos que es derivable en $latex U$ si lo es todo sus puntos. Representaremos por $latex mathcal{H}(U)$ al conjunto de todas las funciones holomorfas en $latex U$. Si $latex f in mathcal{H}(U)$ entonces también es continua en $latex U$.
Teorema (Reglas de derivación): es sencillo deducir las reglas de derivación compleja para la suma, producto, cociente y la regla de la cadena.
Teorema: Sea $latex f(z) = sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$ una serie de potencias con radio de convergencia $latex R>0$. Entonces $latex f$ es holomorfa en $latex D(z_0,R)$ y $latex f'(z) = sum_{n geq 1} n c_n z^{n-1}$ con radio de convergencia $latex R$.
Corolario: Si $latex f$ es analítica en $latex U$ entonces $latex f$ es holomorfa en $latex U$ y $latex f in C^{infty}(U)$ (el recíproco veremos que también es cierto).
Definición (Ecuaciones de Cauchy-Riemann): Si $latex f(z) = u + iv$ es derivable en $latex z_0 = x_0 + i y_0$, entonces existen las derivadas parciales $latex u_x, u_y, v_x, v_y$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
$latex u_x = v_y$ y $latex u_y = -v_x$.
De esta manera, las funciones derivables complejas no son mas que funciones diferenciables de $latex mathbb{R}^2$ cumpliendo unas ecuaciones adicionales.
Teorema (Condición suficiente de derivabilidad): Sea $latex f: U longrightarrow mathbb{C}$ continua con $latex U subset mathbb{C}$ abierto y $latex f(z)=u+iv$. Si las cuatro derivadas parciales $latex u_x, u_y, v_x, v_y$ existen, son continuas en $latex U$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $latex f$ es derivable en $latex U$.