Algebra tensorial y campos tensoriales sobre variedades.

Sean $latex V_1, cdots, V_r$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre $latex mathbb{R}$ y sean $latex V_1^*, cdots, V_r^*$ sus espacios duales.

Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de $latex V_1^* times ldots times V_r^*$ en $latex mathbb{R}$, es decir:

$latex V_1 otimes ldots otimes V_r := mathcal{L}(V_1^* times ldots times V_r^*, mathbb{R})$

Si $latex v_1 in V_1, ldots , v_r in V_r$ y $latex sigma_1 in V_1^*, ldots, sigma_r in V_r^*$, entonces definimos $latex v_1 otimes , ldots , otimes v_r in V_1 otimes , ldots , otimes V_r$ como:

$latex v_1 otimes ldots otimes v_r (sigma_1, ldots, sigma_r)= sigma_1(v_1) ldots sigma_r(v_r)$

Si $latex dim V_j = n_j$ y sea $latex { e_i^j}_{i=1}^{n_j}$ una base de $latex V_j$ con $latex j=1,ldots,r$, entonces:

$latex {e_{i_1}^1 otimes ldots otimes e_{i_r}^r }_{1 leq i_j leq n_j, 1 leq j leq r }$

es una base de $latex V_1 otimes ldots otimes V_r$, de manera que $latex dim V_1 otimes ldots otimes V_r = n_1ldots n_r$.

Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex dim V = n$ y $latex V^*$ su dual. Construimos el espacio vectorial

$latex V^{(r,s)}:=(otimes^r V) otimes (otimes^s V^*)$

donde $latex otimes^k E:= E otimes overset{k)}{ldots} otimes E$ es la $latex k$-ésima potencia tensorial de $latex E$. A los elementos de $latex V^{(r,s)}$ se les llama tensores $latex r$ veces contravariantes y $latex s$ veces covariantes sobre $latex V$. Si $latex { e_1, ldots, e_n}$ es una base de $latex V$ y $latex { e^1, ldots, e^n}$ su base dual (los elementos $latex e^i$ son $latex 1$-formes: $latex e^i: V longrightarrow mathbb{R} in V^*$), entonces todo elemento de $latex V^{(r,s)}$ lo podemos escribir como:

$latex t = t^{i_1,ldots, i_r}_{j_1,ldots, j_s}e_{i_1} otimes ldots otimes e_{i_r} otimes e^{j_1} otimes ldots otimes e^{j_s}$

No es dificil demostrar $latex mathcal{L}(V,V) cong V otimes V^*$, $latex mathcal{L}(V times V, mathbb{R}) cong V^* otimes V^*$ y, en general:

$latex mathcal{L}(V times overset{k)}{ldots} times V, V) cong V otimes (otimes^k V^*)$.

Sea $latex M$ una variedad diferenciable y $latex m in M$. Entonces:

$latex T_m^{(r,s)} = (otimes^r T_mM) otimes (otimes^s T_m^*M)$

es un tensor $latex r$ veces contravariante y $latex s$ veces covariante de $latex M$ en $latex m$ y

$latex T^{(r,s)}M = bigsqcup_{m in M} T_m^{(r,s)}M$

es la variedad de tensores de tipo $latex (r,s)$ de $latex M$. Denotamos por $latex pi : T^{(r,s)}M longrightarrow M$ a la proyección que a cada tensor en $latex m$ le hace corresponder el punto $latex m$.

Un campo tensorial $latex r$ veces contravariante y $latex s$ veces covariante en $latex M$, de tipo $latex (r,s)$, es una aplicación diferenciable $latex K : M longrightarrow T^{(r,s)}M$ tal que $latex pi circ K = id$, es decir, que para cada $latex min M$ tenemos que $latex K_m := K(m) in T_m^{(r,s)}M$ (tenemos un campo tensorial definido en cada punto de la variedad).

Si $latex (U, varphi)$ es una carta, entonces:

$latex K|_U = K^{i_1,ldots,i_r}_{j_1,ldots,j_s} frac{partial}{partial varphi^{i_1}} ldots otimes frac{partial}{partial varphi^{i_r}} otimes dvarphi^{j_1} otimes ldots otimes dvarphi^{j_s}$

Los campos tensoriales son una generalización de:

  1. funciones: una función diferenciable $latex h:M longrightarrow mathbb{R}$ determina un campo tensorial de tipo $latex (0,0)$.
  2. campos vectoriales: un campo vectorial $latex X: M longrightarrow TM$ es un campo tensorial de tipo $latex (1,0)$, pues $latex TM = T^{(1,0)}$.
  3. $latex 1$-formas: una $latex 1$-forma $latex w: M longrightarrow T^*M$ es un campo tensorial de tipo $latex (0,1)$, ya que $latex T^*M = T^{(0,1)}$.

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