A mi casi-código SPH le he añadido la libreria Voro++ de Chris Rycroft y ésta va calculando las correspondientes teselaciones de Voronoi tridimensionales correspondientes a las partículas siguiendo movimientos pendulares (sobre planos z=cte) . Pulsar sobre la imagen para empezar la animación.
Archivos de la categoría: Fluidos
El gradiente del kernel
Definimos a los kernels como funciones del tipo: $latex W_{ab}=W(boldsymbol{r}_a – boldsymbol{r}_b,h)$, donde $latex a$ es la partícula en la que está centrada la función y $latex b$ es una partícula dentro del soporte compacto de la función kernel, controlado éste último por $latex h$, la smoothing length (longitud de suavizado). En este post básicamente …
Desacoplamiento de los sistemas para las X^i y beta^i de la discretización en cartesianas de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT
En la discretización que hicimos teníamos dos sistemas acoplados, uno para las $latex X^i$ y otro para las $latex beta^i$. Procedemos ahora a desacoplarlos. Para empezar, tomamos la divergencia (plana) del sistema: $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij} S^*_j – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ y, teniendo en cuenta que $latex mathcal{D}$ conmuta con $latex Delta$ …
Discretización de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT
Vamos a discretizar las ecuaciones que comentamos en este post. Para ello, discretizaremos las derivadas de la siguiente manera: $latex partial_x u = frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2h_x}$, $latex partial_y u = frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2h_y}$, $latex partial_z u = frac{u_{i,j,k+1}-u_{i,j,k-1}}{2h_z}$, $latex partial_{xx} u = frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2}$, $latex partial_{yy} u = frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2}$, $latex partial_{zz} u = frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2}$, $latex partial_{xy} u = frac{u_{i-1,j-1,k}-u_{i+1,j-1,k}-u_{i-1,j+1,k}+u_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y}$, $latex …
Reescritura en cartesianas de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT
Ya escribimos al respecto en este post. Aquí lo que haremos es reescribir las expresiones allí introducidas En primer lugar, teniamos: $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ donde: $latex S_j^* := sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S_j$, $latex S_j := rho h w^2 v_j$. En el caso de estar …
Reescritura de la reformulación del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT
CoCoNuT es un código que permite realizar simulaciones de colapso estelar. Reescribimos las ecuaciones CFC, que son un caso particular de la aproximación FCF haciendo que las $latex h^{ij}$ sean cero, en terminos de las variables que éste utiliza. Empezamos con una auxilar: $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ donde: …
Discretization of the HD, SHD and GHD equations in its Lagrangian form.
We try to write the formulas in its most general form and fix First of all, in the simplest form of the HD equations we have $latex frac{dboldsymbol{v}_a}{dt} = -sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2}) nabla_a W_{ab}$ (momentum) where: $latex rho_a = sum_b m_b W_{ab}$ (density), $latex frac{de_a}{dt} = frac{1}{2} sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2}) boldsymbol{v}_{ab} …
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SPH para fluidos con densidades muy diferentes.
En el artículo A modified SPH approach for fluids with large density differences de F. Ott y E. Schnetter se explica una nueva modificación del método SPH que permite la interacción entre fluidos con densidades muy diferentes. En la aproximación del SPH estandar tenemos: $latex rho_i = sum_j m_j W_{ij}$ con $latex W_{ij}:=W(boldsymbol{x}_i – boldsymbol{x}_j)$, …
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Shocks en SPH
En el review que Rosswog hace sobre el método SPH, en especial en sus aplicaciones a la astrofísica, hay un apartado dedicado al tratamiento de los shocks. El tratamiento de los strong shocks es uno de los puntos débiles del método SPH (penetración de partículas parcialmente resuelto mediante XSPH). En este apartado comenta que, básicamente, …
Campos magnéticos en SPH
En el artículo «MAGMA: a three-dimensional, Lagrangian magnetohydrodynamic code for merger applications» de S. Rosswog y D. Price comentan como introducir campos magnéticos en SPH. Las ecuaciones ya discretizadas quedan: Ecuación de densidad: $latex rho = sum_b m_b W(r-r_b,h)$ Ecuación del momento (conh: «grad-h» term, mag: magnetic force term, g: self-gravity and gravitational softening term) …
SPH relativista y aproximación CFC
En la tesis doctoral «Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter» de A. Bauswein comenta la implementación numérica del modelo físico para simular colisiones de objetos compactas. La implementación numérica consta de dos partes: una que resuelve las ecuaciones de Euler tridimensionales relativistas que nos dan la evolución hidrodinámica …
Riemann problem & solvers
El problema de Riemann es un caso especial de problema de valor inicial (IVP) en el que la PDE es: $latex u_t + a u_x = 0$ y la condicion inicial (IC): $latex u(x,0) = u_0(x) = begin{cases} u_Lmbox{ si } x < 0 \ u_R mbox{ si } x > 0 end{cases}$ donde $latex …
Algunas ventajas del SPH
En [Monaghan 2005] se revisan la teoría y las aplicaciones del SPH desde su aparición hasta la actualidad. El artículo empieza comentando cinco de los puntos fuertes del método SPH: La advección se trata de manera exacta: si a una partícula se le asigna un color, y se le especifica una velocidad, el transporte del …
Detalles de implementación del método SPH
En [Monaghan 1992] comenta algunos detalles de implementación del método SPH. La inicialización de un cálculo SPH comienza especificando la masa, posición, velocidad y energía térmica de cada partícula. Si calculamos la densidad mediante la forma alternativa: $latex frac{d}{dt}rho_a = sum_b m_b v_{ab} nabla_a W_{ab}$ donde $latex v_{ab} = v_a – v_b$ y que tiene algunas …
Magnetohidrodinámica en relatividad general (GRMHD)
Trabajando en GRMHD nos encontramos el siguiente problema de Cauchy: Ecuaciones de Einstein: $latex (gamma,K)_{t=0} longrightarrow (gamma,K)_t$ Hidrodinámica: $latex (rho,q,tau)_{t=0} longrightarrow (rho,q,tau)_t$ Electromagetismo: $latex (E,B)_{t=0} longrightarrow (E,B)_t$ donde $latex gamma$ es la métrica y $latex K$ la curvatura extrinseca; $latex rho$ es la densidad de masa, $latex q$ la densidad de momento, $latex tau$ la densidad …
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Discretización de las ecuciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana
En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones: Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante: $latex …
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Problema del Instituto Clay de Matemáticas sobre las ecuaciones de Navier-Stokes
En las Jornadas sobre los problemas del milenio celebradas en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011, Diego Córdoba dió una charla sobre el problema Clay de las ecuaciones de Navier-Stokes para la que escribió estas notas. Un fluido es ideal si es incompresible, homogéneo y perfecto. La idea del problema consiste en …
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SPH y Relatividad Especial
En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial. Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es: $latex T^{mu nu} = (n m_0 c^2 + n tau + P) U^mu U^nu + P g^{mu nu}$ donde los indices griegos van de $latex 0$ …
SPH en la Olimpiadas de Barcelona :-)
Según Monaghan en [Monaghan, 1992], uno de los padres del método, buscaban un método con el que fuera fácil trabajar y diera buenos resultados y encontraron eso y mucho mas. Además de no necesitar malla para calcular las derivadas, puesto que se calculan de manera analítica a partir de una fórmula de interpolación, las ecuaciones …
Ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.
En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana. A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde describimos el fluido desde …
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Los Nachlass de Riemann: hidrodinámica e hipótesis de Riemann.
La hipótesis de Rieman dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann: $latex zeta(z) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^z}$ tienen parte real $latex frac{1}{2}$. En el entretenido libro «La música de los números primos» de Marcus de Sautoy, éste comenta la posibilidad de que la teoría de números y la física estén …
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Varias propuestas para la función kernel de SPH, derivadas y propiedades.
Existen diferentes posibilidades a la hora de definir una función kernel: Gaussiana [Gingold & Monaghan, 1977]:$latex W(r,h) = alpha_D cdot e^{-q^2}$ con $latex 0 leq q leq 2$ donde $latex q=frac{r}{h}$, $latex r$ es la distancia entre dos partículas determinadas y $latex alpha_D$, el factor dimensional, que es $latex frac{1}{pi h^2}$ en dos dimensiones y …
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Propiedades de la función kernel en SPH
En el artíclo [Gingold & Monaghan, 1977] se introducen La función kernel, $latex W(vec{r}-vec{r’},h)$, es una función que permite interpolar los valores de cualquier propiedad del fluido en función del valor de las partículas del entorno. Su papel es similar al de los diferentes esquemas de diferencias en el ámbito de las Diferencias Finitas o …
Orígenes del Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
En el artículo [Gingold & Monaghan, 1977] se presenta por primera vez el método Smoothed Particle Hydrodynamics. Los autores, originalmente, buscaban un método que permitiera tratar problemas en astrofísica asimétricos (sin simetría esférica, sin simetría axial, etc.) . En estos casos, los métodos de diferencias finitas no se adaptan bien, pues requieren elevar el número …
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Ecuaciones de la hidrodinámica en relatividad especial
En relatividad especial, o relatividad restringida, podemos generalizar las ecuaciones de Euler clásicas que determinan la evolución de los fluidos. Para ello, definimos el tensor de energia-impulso de la siguiente manera: $latex T^{alpha beta} = (rho + frac{p}{c^2}) u^alpha u^beta + p eta^{alpha beta}$ De esta manera: $latex frac{partial}{partial x^beta} T^{alpha beta} = 0$ generaliza …
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Ecuaciones de la hidrodinámica en física Newtoniana.
Las ecuaciones de Euler gobiernan la dinámica de los fluidos compresibles, como gases o líquidos a alta presión, cuando consideramos despreciables las fuerzas de cuerpo, las tensiones viscosas y los flujos de calor. Forman un sistema de PDE no lineal hiperbólico. En el caso clásico, deducidas por Leonhard Euler, las leyes de conservación son las …
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Hidrodinámica y magnetohidrodinámica clásicas y relativistas.
La hidrodinámica (HD) es la parte de la física que estudia la dinámica de los fluidos tanto incompresibles, los líquidos, como compresibles, los gases o los líquidos a alta presión (de hecho, todos los fluidos son compresibles, siendo la incompresibilidad una aproximación para simplificar las ecuaciones que describen su dinámica). La magnetohidrodinámica (MHD) estudia la …
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